2024年马蹄杯专科组第三场初赛解题报告

前言

在这里插入图片描述

题解

VP了这场比赛，整体还是偏简单，最难的题是数论相关，算一道思维题。

也看了赛时榜单，除了数论，大模拟和图论题也是拦路虎。

打工人

有趣的一道数学题，有点绕

很像数列和

$\sum_{i=1}^{i=n} i=n*(n+1)/2$

从公式结合时间复杂度，可以 $\sqrt n$ 求解单次查询，时间复杂度 $\sqrt n)$ 是可行的。

对于区间 $[L, R]$ 问题，转化为函数差

$f (x) = [1, x] 的累加和$
$g (l, r) = f (r) - f (l - 1)$

关键在于如何求解这个函数 $f (x)$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

using int64 = long long;

// 时间复杂度为O(\sqrt n)
int64 f(int v) {
    int64 r = 0;
    int acc = 0;
    for (int i = 1; acc <= v; i++) {
        r += (i * min(v - acc, i));
        acc += i;
    }
    return r;
}

int main() {
    int q;
    cin >> q;
    while (q-- > 0) {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        int64 r1 = f(l - 1);
        int64 r2 = f(r);
        cout << r2 - r1 << endl;
    }
    return 0;
}

当然这题是可以把单次查询优化为 $O (1)$ 的

P序列

其实是一道思维题。

可以从构造的角度，去解这道题，就会发现很容易。

因为其是一种山峰状的数组, 左侧非严格递增，右侧非严格递减。

对数进行分组，按值排序，然后放置于数组。

最大值先放于中间
按序依次放置其他数 $v_i$ ，若个数为 $cnt_{v_i}$ ，其放置左右侧的方案数总共为 $cnt_{v_i} + 1$

根据乘法原理，最终的总方案数为

${\prod (cnt_{v_i} + 1), v_i \ne v_{max}}$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

using int64 = long long;

int64 mod = 998244353l;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n;
    cin >> n;
    map<int, int> hp;

    int mz = -0x3f3f3f3f;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        hp[x]++;
        mz = max(mz, x);
    }

    long long res = 1l;
    for (auto &[k, v] : hp) {
        if (k != mz) {
            res = res * (v + 1) % mod;
        }
    }
    cout << res << endl;

    return 0;
}

多项式输入

思路: 模拟

对于这类模拟题，最好的方式是拆分

多项式和拆分成

符号
系数
指数

这三部分，然后分别处理，这样就会很清晰。

然后这边需要加入一个特例

$就是全是 0 的情况$

#include<bits/stdc++.h> 

using namespace std;

int main( )
{
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> vec(n + 1);
    for (int &x: vec) cin >> x;

    string s;
    bool first = true;

    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        if (vec[i] == 0) continue;
        // 1. 处理符号
        if (first) {
            s.append(vec[i] > 0 ? "": "-");
        } else {
            s.append(vec[i] > 0 ? "+" : "-");
        }

        // 2. 系数部分
        int x = abs(vec[i]);
        if (i != n && x > 1) {
            s.append(to_string(x));
        } else if (i == n) {
            s.append(to_string(x));
        }
        // 3. 指数部分
        if (i < n - 1) {
            s.append("x^");
            s.append(to_string(n - i));
        } else if (i == n - 1) {
            s.append("x");
        } 
        first = false;
    }
    // 特别处理0这个特例
    if (s.length() == 0) {
        s = "0";
    }

    cout << s << endl;

    return 0;
}